Madame Viktoriia VOLOSHYNA, Doctorante en cotutelle aux laboratoires IMATH et CPT rattachés à l’École Doctorale 548 « Mer & Sciences » (France) et à l’Université Nationale Taras-Chevtchenko de Kiev (Ukraine), soutiendra sa thèse en vue de l’obtention du Grade de Docteur, sous la direction de M. Igor SHEVCHUK, Professeur des universités, Université Nationale Taras-Chevtchenko de Kiev (Ukraine), Co-directeur de thèse, M. Walter ASCHBACHER, Professeur des universités, Université de Toulon (France), Directeur de thèse, Co-encadrée par Mme Lyudmyla YUSHCHENKO, Maître de conférences, Directrice des études de l’école d’ingénieurs SeaTech, Université de Toulon (France), Co-encadrante de thèse, en Mathématiques appliquées sur le thème :
Le mardi 19 juillet 2022 à 17h30, Amphithéâtre du Bâtiment M de l’école d’ingénieurs SeaTech, Université de Toulon – Campus La Garde
Le jury de thèse sera composé de :
Résumé :
Cette thèse est consacrée aux trois sujets connexes de la théorie de l’approximation et de l’analyse fonctionnelle :
– approximation préservant la forme des fonctions périodiques ;
– inégalités pour la dérivée d’un polynôme ;
– applications de l’approximation préservant la forme dans les systèmes dynamiques conflictuels.
Bien que l’approximation préservant la forme (APF) remonte à Chebyshev, Bernstein et Lorentz, son développement moderne a commencé à la fin des années 60 dans les articles de Lorentz, Zeller et Shisha. L’objectif de l’APF est d’approximer une fonction monotone par un polynôme monotone, une fonction monotone par morceaux par un polynôme monotone par morceaux, une fonction convexe par un polynôme convexe, une fonction convexe par morceaux par un polynôme convexe par morceaux, etc
Les contre-exemples que nous avons construits concluent la théorie de l’approximation coconvexe des fonctions périodiques par des polynômes trigonométriques. Pour de nouveaux cas de paramètres s et n, nous avons prouvé la validité de l’inégalité classique de Dzyadyk pour la dérivée d’un polynôme algébrique avec la constante exacte. Pour le modèle de système dynamique de conflit, l’approximation préservant la forme a été construite. Le critère d’apparition du spectre ponctuel dans la distribution limite est la stratégie à la priorité fixe. Dans tous les autres cas, les distributions limites sont continues singulières pures.
Form-preserving approximations of periodic functions by trigonometric polynomials
Abstract :
This thesis is devoted to the following three connected topics of the Approximation theory and functional analysis :
– shape preserving approximation of periodic functions ;
– inequalities for the derivative of a polynomial ;
– applications of the shape preserving approximation in conflict dynamical systems.
Although the shape preserving approximation (SPA) goes to Chebyshev, Bernstein , and Lorentz its modern development began at the end of 60-th in the papers by Lorentz, Zeller, and Shisha. The goal of the SPA is to approximate a monotone function by a monotone polynomial, a piecewise monotone function by a piecewise monotone polynomial, a convex function by a convex polynomial, a piecewise convex function by a piecewise convex polynomial, etc.
The counterexamples we constructed conclude the theory of the coconvex and q-convex approximation of periodic functions by trigonometric polynomials. For new cases of parameters s and n, we proved the validity of the classical Dzyadyk inequality for the derivative of an algebraic polynomial with the exact constant. For the model of conflict dynamical system the shape preserving approximation was constructed. The criterion for the appearance of the point spectrum in the limit distribution is the strategy with fixed priority. In all other cases, the limit distributions are pure singular continuous.